Question

2．如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱锥D-ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=$\frac{3}{8}$CA，求证：MN∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）由已知可求面积S_△BCD的值，利用勾股定理可求AB⊥BC，进而可求AB⊥平面BCD，即可计算得解三棱锥V_D-ABC=V_A-BCD的值．
（2）取AC的中点H，要证明AC⊥平面DEF，可先证DE⊥AC，再证明EF⊥AC即可．
（3）连接CM，设CM∩DE=O，连接OF，可求CO=$\frac{2}{3}$CM，利用线面平行的判定定理即可证明．

解答 解：（1）∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，
∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．
∵AC=$\sqrt{2}$a，∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，且交线为BC，AB?平面ABC，
∴AB⊥平面BCD，
∴V_D-ABC=V_A-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•a$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$…4分
（2）证明：取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．…8分
（3）当CN=$\frac{3}{8}$CA时，连接CM，设CM∩DE=O，连接OF，
∵O为△BCD的垂心，∴CO=$\frac{2}{3}$CM，
当CF=$\frac{2}{3}$CN时，MN∥OF，OF?平面DEF，MN?平面DEF，
∴MN∥平面DEF．…12分

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．