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(5分)设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:

①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;

③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一;

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是    (写出所有真命题的序号).

 

【答案】

①④

【解析】①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,根据两点之间线段最短,则C是A,B,C的中位点,正确;

②举一个反例,如边长为3,4,5的直角三角形ABC,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,

∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点;故错误;

③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一;故错误;

④如图,在梯形ABCD中,对角线的交点O,P是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得

PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD,

∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.正确.

故答案为:①④.

 

练习册系列答案
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(2007•广州二模)已知曲线C:y=ex(其中e为自然对数的底数)在点P(1,e)处的切线与x轴交于点Q1,过点Q1作x轴的垂线交曲线C于点P1,曲线C在点P1处的切线与x轴交于点Q2,过点Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2,…,依次下去得到一系列点P1、P2…、Pn,设点Pn的坐标为(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)分别求xn与yn的表达式;
(Ⅱ)设O为坐标原点,求
n
i=1
O
P
2
i

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•四川)设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:
①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是
①④
①④
(写出所有真命题的序号).

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科目:高中数学 来源:四川 题型:填空题

设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:
①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是______(写出所有真命题的序号).

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科目:高中数学 来源:2013年四川省高考数学试卷(理科)(解析版) 题型:填空题

设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:
①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是    (写出所有真命题的序号).

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