Question

若不等式

1

x2-1

+x²+λ＞0对于x∈（-∞，-1）恒成立，则实数λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：把不等式

1

x2-1

+x²+λ＞0变形，分离参数λ后然后利用基本不等式求最值，则答案可求．

解答： 解：由

1

x2-1

+x²+λ＞0对于x∈（-∞，-1）恒成立，得
λ＞-

1

x2-1

-x²恒成立，即λ＞-

1

x2-1

-(x2-1)-1=-[

1

x2-1

+(x2-1)]-1恒成立，
∵x∈（-∞，-1），∴x²＞1，x²-1＞0，
则-[

1

x2-1

+(x2-1)]-1≤-2

1 x2-1 •(x2-1)

-1=-3．
上式当且仅当

1

x2-1

=x2-1，即x=-

2

时成立．
∴λ＞-3．
故答案为：λ＞-3．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求函数的最值，训练了利用分离变量法求参数的范围，是中档题．