Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=t|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$°，则t的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=t|\overrightarrow{a}|$，利用两个向量的夹角公式求得$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{\frac{{t}^{2}+2}{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，再利用勾股定理求得t的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=t|$\overrightarrow{a}$|，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=t|\overrightarrow{a}|$，
则cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{{t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$，
化简可得2$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$2=（2+t²）$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，∴$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{\frac{{t}^{2}+2}{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，
再由$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}={t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，t＞0，解得t=2．
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，考查两个向量的数量积的运算，考查计算能力，是中档题．