精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
14.如图,割线PAB交于圆O于A、B两点,PO交于圆O于C,D在AB上,且满足CD2=DA•DB.
(Ⅰ)求证:OD⊥CD;
(Ⅱ)若PA=6,AB=$\frac{22}{3}$,PO=12,求PC的长.

分析 (Ⅰ)延长CD,交圆O于E,证明D是CE的中点,即可证明:OD⊥CD;
(Ⅱ)延长PO交圆O于F,由割线定理得PC•PF=PA•PB,代入数据求PC的长.

解答 (Ⅰ)证明:延长CD,交圆O于E,
由相交弦定理得CD•DE=DA•DB,
∵CD2=DA•DB,
∴CD=DE,
∴D是CE的中点,
∴OD⊥CD;
(Ⅱ)解:延长PO交圆O于F,
由割线定理得PC•PF=PA•PB,
设圆O的半径为r,则(12-r)(12+r)=6×(6+$\frac{22}{3}$),
∴r=8,
∴PC=4.

点评 本题考查相交弦定理、割线定理,考查学生方程解决问题的能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩,绘制成如图所示的频率分布直方图,分数落在区间[55,65),[65,75),[75,85)内的频率之比为4:2:1.
(Ⅰ)求这些分数落在区间[55,65]内的频率;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取2个分数,求这2个分数都在区间[55,75]内的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.已知函数f(x)=-x2+alnx(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)-2x+2x2,讨论函数g(x)的单调性;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中函数g(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),且不等式g(x1)≥mx2恒成立,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=120°,PA=PB=2$\sqrt{2}$.若点N在线段PD上,且PN=kPD(0<k<1),平面BCN与PA相交于点M.
(1)求证:AD∥MN;
(2)当k=$\frac{1}{4}$时,求直线BN与平面PAD所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.如图,已知AB为⊙O的直径,C、F为⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D,连结CF交AB于点E.若AB=6,ED=4,则EF=(  )
A.2B.$\sqrt{5}$C.$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$D.$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知函数f(x)=x2-alnx-x(a≠0)
(1)若f(x)在x=$\frac{3}{4}$处取得极值,求实数a的值;
(2)若a>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是函数f(x)图象上的任意两点,记直线AB的斜率为k,求证:f′($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)>k.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O与边BC,AC分别交于点D,E,且DF⊥AC于F.若CD=3,EA=$\frac{7}{5}$,则EF的长为$\frac{9}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.已知条件p:|x|≤1,条件q:x<-2,则p是?q的(  )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.已知α∈($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$),sinα+cosα=$\frac{7}{5}$,求$\frac{sin(\frac{3π}{2}+α)tan(α-5π)cos(\frac{π}{6}-α)}{sin(\frac{π}{3}+α)}$的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案