Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1的图象过M（1，5），且在M处的切线的斜率为8．
（1）求a、b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b由已知∴∴
（2）f'（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
由f'（x）＞0得或x＜-1
由f'（x）＜0得
∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为；

（3）∴由（2）知在上是减函数，在上是增函数
∴f（x）在[-1，1]上的最小值为，
又f（-1）=1，f（1）=5
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为5
综合得：f（x）在[-1，1]上的最小值为，最大值为：5
分析：（1）求出f′（x），因为函数在M处切线的斜率为8，则f′（1）等于8，把（1，5）代入f（x）得到f（1）=5，联立即可求出a与b的值；（2）把（1）求出的a与b的值代入到f′（x）后，令f′（x）大于0解出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）小于0解出x的范围即为函数的减区间；（3）在闭区间[-1，1]上，由（2）知在上是减函数，在上是增函数，即可得到函数的最小值为f（-），然后分别求出f（-1）和f（1）比较大小得到函数的最大值即可．
点评：此题考查学生会求曲线上过某点切线的斜率，会利用导函数的正负研究原函数的增减性，会利用导数求闭区间上函数的最值，是一道中档题．