Question

（本小题满分12分） 已知函数，

（1）设函数，求函数的单调区间；

（2）若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）或.    

【解析】

试题分析：（1）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；

（2）先把f（x₀）＜g（x₀）成立转化为h（x₀）＜0，即函数h(x)=x+-alnx在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围

在上存在一点，使得，即

函数在上的最小值小于零.        …由（Ⅱ）可知

①即，即时， 在上单调递减，

所以的最小值为，由可得，

因为，所以；                  

②当，即时， 在上单调递增，

所以最小值为，由可得；③当，即时， 可得最小值为，

因为，所以， 

故   

此时，不成立.         

综上讨论可得所求的范围是：或.     

考点：本试题主要考查了利用导函数来研究函数的极值．

点评：解决该试题的关键是利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值。