Question

6．已知f（x）为定义在R上的可导函数，下列命题：
①若y=f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则当x＜0时，f（x）＜0；
②若对任意的x＞0，都有f（x）＜f（0），则函数y=f（x）在[0，+∞）上一定是减函数；
③“函数y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）为奇函数”的必要不充分条件；
④若存在x_i∈[a，b]（1≤i≤n；n≥2；i，n∈N₊），当x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n时，有f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃）＜…＜f（x_n），则函数y=f（x）在区间[a，b]上是单调递增；
⑤若?x₀∈（a，b）使f′（x₀）=0，且f′（a）f′（b）＜0，则x=x₀为函数y=f（x）的一个极值点．
其中正确命题的序号为①③⑤．

Answer 1

分析 ①由y=f（x）是奇函数，则f（0）=0，且在x∈（0，+∞）上单调递增，则在R上单调递增，即可判断出真假；
②不正确，例如取f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$-2x，f′（x）=-（x-1）（x-2），可知函数f（x）在x=2时取得极大值，f（2）=-$\frac{2}{3}$＜0=f（0），即可判断出；
③若“y=f（x）为奇函数”，其图象关于原点对称，则“函数y=|f（x）|的图象关于y轴对称”；反之不成立，例如f（x）=x²，即可判断出真假；
④是假命题，例如取x∈[1，4]，x∈[1，2）时，f（x）=$2（x-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{7}{8}$；x∈[2，3），f（x）=$-2（x-\frac{11}{4}）^{2}$+$\frac{25}{8}$；x∈[3，4]，f（x）=$2（x-\frac{13}{4}）^{2}$+$\frac{23}{8}$，即可判断出真假；
⑤利用函数取得极值的充要条件即可判断出．

解答 解：①若y=f（x）是奇函数，则f（0）=0，且在x∈（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可得：在R上单调递增，因此当x＜0时，f（x）＜f（0）=0，因此正确；
②若对任意的x＞0，都有f（x）＜f（0），则函数y=f（x）在[0，+∞）上一定是减函数，不正确，例如取f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$-2x，f′（x）=-（x-1）（x-2），可知函数f（x）在x=2时取得极大值，在x=1取得极小值，f（2）=-$\frac{2}{3}$＜0=f（0）；
③若“y=f（x）为奇函数”，其图象关于原点对称，则“函数y=|f（x）|的图象关于y轴对称”；反之不成立，例如f（x）=x²，函数y=|f（x）|=x²的图象关于y轴对称，是偶函数，因此正确；
④是假命题，例如取x∈[1，4]，x∈[1，2）时，f（x）=$2（x-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{7}{8}$；x∈[2，3），f（x）=$-2（x-\frac{11}{4}）^{2}$+$\frac{25}{8}$；x∈[3，4]，f（x）=$2（x-\frac{13}{4}）^{2}$+$\frac{23}{8}$，满足f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4），但不是单调递增函数．
⑤若?x₀∈（a，b）使f′（x₀）=0，且f′（a）f′（b）＜0，则x=x₀为函数y=f（x）的一个极值点，正确．
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．