Question

已知0＜α＜

π

2

，sinα=

4

5

．
（I）求tanα的值；
（II）求cos(α+

π

4

)的值；
（III）若0＜β＜

π

2

且cos(α+β)=-

1

2

，求sinβ的值．

Answer 1

分析：（ I）利用同角三角函数的基本关系根据sinα的值求出cosα的值，从而求得tanα的值．
（ II）利用两角和的余弦公式求出cos(α+

π

4

)的值．
（ III）根据α、β的范围，根据cos(α+β)=-

1

2

求出sin（α+β）的值，再由sinβ=sin[（α+β）-α]，利用两角差的正弦公式求出sinβ的值．

解答：解：（ I）因为0＜α＜

π

2

，sinα=

4

5

，故cosα=

3

5

，所以，tanα= 

sinα

cosα

=

4

3

．（4分）
（ II）cos(α+

π

4

)=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

．（8分）
（ III）因为0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，所以 0＜α+β＜π．（9分）
又因为cos(α+β)=-

1

2

，所以 sin(α+β)=

3

2

．（11分）
sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

4+3 3

10

．（13分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于中档题．