Question

设f（x）=log为奇函数，b为常数．
（1）求b的值；
（2）求f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）的值；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=log为奇函数，知+==0，由此能求出b．
（2）由f（x）=，知f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）=，由此能求出结果．
（3）对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，等价于当x∈[3，4]时，f（x）-（）^x=-（）^x恒成立，设h（x）=-（）^x=，推导出y=h（x）在[3，4]上单调递增，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=log为奇函数，b为常数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴+==0，
∴，解得b=±1．
∵b=1时，=-1，不成立，舍去，∴b=-1．
（2）∵b=-1，∴f（x）=，
∴f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）
=++…++
=
=
=．
（3）∵对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，
∴当x∈[3，4]时，f（x）-（）^x=-（）^x恒成立，
设h（x）=-（）^x=，
∵y==在[3，4]上单调递增，y=（）^x在[3，4]上单调递减，
∴y=h（x）在[3，4]上单调递增，
∴只需m＜h（3）==-，
∴m＜-．
故实数m的取值范围是（-∞，-）．
点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查对数值的计算，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大．解题时要注意函数的奇偶性、单调性和构造法的合理运用．