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    设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0).

    (1)求f(x)的最小值s(t)；

    (2)若s(t)<－2t＋m对于t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.

    (1)∵f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1＝t(x＋t)2－t3＋t－1(t∈R，t>0)，

    ∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

    即s(t)＝－t3＋t－1.

    (2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.

    由h′(t)＝－3t2＋3＝0.

    得t＝1或t＝－1(舍去)，则有

    t

    (0,1)

    1

    (1,2)

    h′(t)

    ＋

    0

    －

    h(t)

    极大值

    ∴h(t)在(0,2)内有最大值1－m，

    ∴s(t)<－2t＋m对于t∈(0,2)恒成立等价于h(t)<0恒成立，即1－m<0，∴m>1.

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    (Ⅰ)求a，b，c的值；

    (Ⅱ)设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，

    求证：|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1)|；

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    (Ⅱ)设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证：|t＋x|＋|t－x|＜|f(tx＋1)|；

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    已知函数f(x)＝(a，b，c∈N)，且f(2)＝2，f(3)＜3，且f(x)的图像按向量＝(－1，0)平移后得到的图像关于原点对称．

    (1)求a，b，c的值；

    (2)设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不等式|t＋x|－|t－x|＜|f(tx＋1)|；

    (3)已知x＞0，n∈N*，求证不等式[f(x＋1)]n－f(xn＋1)≥2n－2

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年湖北武汉市高三2月调研测试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （1）已知函数f(x)＝ex－1－tx，?x0∈R，使f(x0)≤0，求实数t的取值范围；

    （2）证明：＜ln＜，其中0＜a＜b；

    （3）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）．

     

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