Question

（1）已知曲线C的极坐标方程为ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
（Ⅰ）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值
（2）已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0
（I）求证：a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
（II）求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）（I）根据的极坐标和直角坐标的互化公式，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程．
（II）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，则P（3cosθ，2sinθ），利用辅助角公式可得3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin（θ+∅），令sin（θ+∅）=1，求得3x+4y的最大值；
（2）（I）根据柯西不等式直接证明即可；
（II）将（I）中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0代入，消去a、b、c得到关于m的不等关系，解之即可求出m的范围．

解答：解：（1）（I）把曲线C的极坐标方程为ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
化为直角坐标方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
（II）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，则P（3cosθ，2sinθ），
可得3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin（θ+∅），故当sin（θ+∅）=1时，3x+4y 取得最小值为

145

．
（2）（I）根据柯西不等式可得（a2+

1

4

b2+

1

9

c2）（1+2²+3²）≥（a×1+

b

2

×2+

c

3

×3）2=（a+b+c）²
∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c) 2

14

（II）∵a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．

点评：本题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化，辅助角公式的应用，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．