Question

已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，f(2)=

1

2

，f′（x）是f（x）的导函数，若?x∈R，f′（x）＜e^x，则不等式f(x)＜ex-

1

2

（e=2.718…）的解集为

 

．

Answer 1

分析：先根据f（1+x）是定义域为R的偶函数求出函数f（x）的对称轴，进而得到f（0）的值，再由f′（x）＜e^x可判断函数g（x）=f（x）-e^x的单调性，将f(x)＜ex-

1

2

转化为f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0），最后根据函数的单调性得到答案．

解答：解：∵函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，∴函数f（x）的对称轴为x=1
∵f(2)=

1

2

，∴f（0）=

1

2

∵f′（x）＜e^x∴f′（x）-e^x＜0∴[f（x）-e^x]'＜0
令函数g（x）=f（x）-e^x，则函数g（x）在R上单调递减
且g（0）=f（0）-e⁰=

1

2

-1=-

1

2

∵f(x)＜ex-

1

2

∴g（x）=f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）

点评：本题主要考查函数的对称性、根据导数判断函数的单调性、根据函数单调性解不等式．