Question

【题目】已知点A（0，﹣2），椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点
（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，问：是否存在直线l，使以PQ为直径的圆经过点原点O，若存在，求出对应直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设F（c，0），由条件知， ，解得c= ，又 ，

∴a=2，b2=a2﹣c2=1，

∴E的方程为：

（2）

解：当l⊥x轴时，不合题意；

当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

把y=kx﹣2代入 ，化简得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

由△=16（4k2﹣3）＞0，得 ，即k＜﹣ 或k＞ ．

， ，

∴ ．

若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，则 ，

即 ，即 ，

∴k2=4，符合△＞0，

∴存在k=±2，符合题意，

此时l：y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2

【解析】（1）设出F，由直线AF的斜率为 求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程化简，由判别式大于0求得k的范围，若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，求出 ，即 ，得到k2=4，符合△＞0，进一步求出k值，则直线方程可求．