Question

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为

2

-1，离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使

MP

•

MQ

为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

a-c= 2 -1 e= c a = 2 2

?

a= 2 c=1 b=1

，由此能导出所求椭圆E的方程．
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+，由1

x2+2y2=2 x=ky+1

(1) (2)

，整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0，

y1+y2=- 2k k2+2 y1•y2=- 1 k2+2

，假设存在定点M（m，0），使得

MP

•

MQ

为定值．由此入手能够推导出存在定点M(

5

4

，0)，使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有

MP

•

MQ

=-

7

16

（恒为定值）．

解答：解：（Ⅰ）

a-c= 2 -1 e= c a = 2 2

?

a= 2 c=1 b=1

，
∴所求椭圆E的方程为：

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1

x2+2y2=2 x=ky+1

(1) (2)

，
把（2）代入（1）整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0（3）
∴

y1+y2=- 2k k2+2 y1•y2=- 1 k2+2

，（8分）
假设存在定点M（m，0），使得

MP

•

MQ

为定值

MP

•

MQ

=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（ky₁+1-m）（ky₂+1-m）+y₁y₂=（k²+1）y₁y₂+k（1-m）（y₁+y₂）+（1-m）²=-

(k2+1)

k2+2

-

2k2(1-m)

k2+2

+(1-m)2=

(2m-3)k2-1

k2+2

+(1-m)2=

(2m-3)(k2+2)+(5-4m)

k2+2

+(1-m)2
当且仅当5-4m=0，即m=

5

4

时，

MP

•

MQ

=-

7

16

（为定值）．这时M(

5

4

，0)（12分）
再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取P(-

2

，0)，Q(

2

，0)

MP

=(-

2

-

5

4

，0)，

MQ

=(

2

-

5

4

，0)

MP

•

MQ

=(-

2

-

5

4

)•(

2

-

5

4

)=-

7

16

∴存在定点M(

5

4

，0)使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有

MP

•

MQ

=-

7

16

（恒为定值）．

点评：本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．