Question

已知a∈R，设p：函数f（x）=x²+（a-1）x是区间（1，+∞）上的增函数，q：方程x²-ay²=1表示双曲线．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x²+（a-1）x是区间（1，+∞）上的增函数，得-

a-1

2

≤1，从而求出命题p为真时，a的范围；
（2）由复合命题真值表知若“p且q”为真命题，则命题p、q都为真命题，求得命题q为真命题时a的范围，求交集可得答案．

解答：解：（1）∵p为真命题，即函数f（x）=x²+（a-1）x是区间（1，+∞）上的增函数，
∴-

a-1

2

≤1，解得a≥-1．
即实数a的取值范围是[-1，+∞）．                     
（2）由方程x²-ay²=1表示双曲线，则a＞0，
∴命题q为真命题，则a＞0．
由复合命题真值表知若“p且q”为真命题，则命题p为真命题，且q也为真命题． 
∴a≥-1且a＞0，即a＞0．
∴实数a的取值范围是（0，+∞）．

点评：本题考查了复合命题的真假判断，考查了函数的单调区间的判定及双曲线的标准方程，解题的关键是求得命题p、q都为真时a的范围．