Question

【题目】已知函数， 且.
（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值；

Answer 1

【答案】(1) (2) 当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.

【解析】试题分析：（1）欲求实数a的值，只须求出切线斜率的值列出关于a的等式即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用斜率为0即可求得a；

（2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，再根据导数求函数的单调性，从而可求出函数的最小值.

试题解析：

由题意得：

；

(1) 由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即 ，解得；

(2) 设，则只需求当时，函数的最小值.

令，解得或，而，即.

从而函数在和上单调递增，在上单调递减.

当时，即时，函数在上为减函数， ；

当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， .

综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.