Question

已知定义在区间上的函数y=f（x）图象关于直线对称，当时，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的图象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程有解，将方程所有的解的和记为M，结合（1）中函数图象，求M的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据图象的对称性做出y=f（x）的图象．
（2）任取x∈[-π，]，则-x∈[，]，由题意得．再根据当时，f（x）=-sinx，
求出解析式．
（3）因为-∈（-1，-），f（x）=- 有4个根满足 x₁＜x₂＜＜x₃＜x₄，利用对称性求出M的值．
解答：解：（1）y=f（x）的图象如图所示．
（.4分）
（2）任取x∈[-π，]，则-x∈[，]，由于函数f（x）图象关于直线对称，
则．（6分）
又当时，f（x）=-sinx，则=-sin（-x）=-cosx，（8分）
即．（10分）
（3）因为-∈（-1，-），f（x）=- 有4个根满足 x₁＜x₂＜＜x₃＜x₄，（12分）
由对称性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，则M=x₁+x₂ +x₃+x₄=π．（14分）
点评：本题主要考查正弦函数的图象，根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．