Question

6．设顶点都在一个球面上的三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2，则该球的表面积为（　　）

• A． 9π
• B． 8π
• C． $\frac{23}{3}π$
• D． $\frac{28}{3}π$

Answer 1

分析 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，
设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外接球的半径为OA₁，
又设D为A₁C₁中点，在直角三角形EDA₁中，EA₁=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
在直角三角形OEA₁中，OE=1，由勾股定理得OA₁=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$
∴球的表面积为S=4π•$\frac{7}{3}$=$\frac{28}{3}$π，
故选：D．

点评 本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．