Question

某几何体的三视图如图所示，已知其正视图的周长为6，则该 几何体体积的最大值为（　　）

• A．

  π

  2

• B．π
• C．

  3π

  2

• D．2π

Answer 1

分析：由三视图知，判断几何体为圆柱，设其底面的半径为r，高为h，利用周长，列出体积的关系式，通过导数求出最大值即可．

解答：解：由三视图知，该几何体为圆柱，
设其底面的半径为r，高为h，
则4r+2h=6⇒2r+h=3，V=πr²h≤π（

r+r+h

3

）3=π（当r=h时“=”成立）
或V=πr²h=πr²（3-2r），V'=π[2r（3-2r）-2r²]=6πr（1-r），
令V'=0得r=1，当r∈（0，1）时，V'＞0，
当r∈（1，+∞）时，V'＜0，
故当r=1时，V有最大值，V_max=π，
故选B．

点评：本题考查三视图与几何体的关系，函数的导数的应用，考查计算能力．