Question

（2012•无为县模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₂a_n（n≥2），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知分别令n=1，2，代入即可求a₂，a₃，由a_n+1=3S_n+1，及当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．两式相减，结合等比数列的通项公式即可求解通项
（Ⅱ）利用错位相减求和的方法即可求T_n；
（Ⅲ） 由已知利用叠加法及对数的运算性质、等差数列的求和公式可求b_n，

解答：解：（Ⅰ）由已知得，a₂=4，a₃=16．…（2分）
由题意，a_n+1=3S_n+1，则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．
两式相减，得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（3分）
又因为a₁=1，a₂=4，

a 2

a1

=4，
所以数列{a_n}是以首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式是an=4n-1（n∈N^*）．…（5分）
（Ⅱ）因为Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
所以4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（6分）
两式相减得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n，…（8分）
整理得，Tn=

3n-1

9

•4n+

1

9

（n∈N^*）．…（9分）
（Ⅲ） 当n≥2时，依题意得b₂-b₁=log₂a₂，b₃-b₂=log₂a₃，…，b_n-b_n-1=log₂a_n．
相加得，b_n-b₁=log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n．…（12分）
依题意log2an=log24n-1=2(n-1)．
因为b₁=0，所以b_n=2[1+2+…+（n-1）]=n（n-1）（n≥2）．
显然当b₁=0时，符合．
所以b_n=n（n-1）（n∈N^*）．…（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，错位相减求和方法的应用及对数运算性质的综合的应用．