Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1．如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性先对|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

．
则当x∈(0，

- a+1 2a

)时，f'（x）＞0；x∈(

- a+1 2a

，+∞)时，f'（x）＜0．
故f（x）在(0，

- a+1 2a

)单调增加，在(

- a+1 2a

，+∞)单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x₁≥x₂，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，
从而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
等价于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁①
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=

a+1

x

+2ax+4
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即

a+1

x

+2ax+4≤0．
从而a≤

-4x-1

2x2+1

=

(2x-1)2-4x2-2

2x2+1

=

(2x-1)2

2x2+1

-2
故a的取值范围为（-∞，-2]．（12分）

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．