分析:(1)根据条件,判断S的值是有界集,故必存在最大值与最小值,且S取到最大值,则必有|xi-xj|≤1(1≤i,j≤5),从而可求结论;
(2)当x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2时,只有三种情况,后两种情形是由第一组作xi′=xi-1,xj′=xj+1调整下得到的,结合(1)中的分析,可得结论.
解答:解:(1)首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值.
x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=2006,且使S=
|
|
-1≤i≤j≤5 |
xixj取到最大值,则必有|x
i-x
j|≤1(1≤i,j≤5)…(5分) (*)
事实上,假设(*)不成立,不妨假设x
1-x
2≥2,则令x
1′
′=x
1-1,x
2′=x
2+1,x
i′=x
i (i=3,4,5),有x
1′+x
2′=x
1+x
2,x
1′•x
2′=x
1x
2+x
1-x
2-1>x
1x
2.
将S改写成S=
|
|
-1≤i≤j≤5 |
xixj=x
1x
2+(x
1+x
2)(x
3+x
4+x
5)+x
3x
4+x
3x
5+x
4x
5同时有 S′=x
1′x
2′+(x
1′+x
2′)((x
3+x
4+x
5)+x
3x
4+x
3x
5+x
4x
5.
于是有S′-S=x
1′x
2′-x
1x
2>0.
这与S在x
1,x
2,x
3,x
4,x
5时取到最大值矛盾.
所以必有|x
i-x
j|≤1,(1≤i,j≤5).
因此当x
1=402,x
2=x
3=x
4=x
5=401时S取到最大值. …(10分)
(2)当x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=2006,且|x
i-x
j|≤2时,只有
(1)402,402,402,400,400;
(2)402,402,401,401,400;
(3)402,401,401,401,401;
三种情形满足要求. …(15分)
而后两种情形是由第一组作x
i′=x
i-1,x
j′=x
j+1调整下得到的.
根据上一小题的证明可知道,每次调整都使和式S=
|
|
-1≤i≤j≤5 |
xixj变大.
所以在x
1=x
2=x
3=402,x
4=x
5=400时S取到最小值.…(20分)
点评:本题考查函数的最值,考查学生的探究能力,考查学生分析解决问题的能力,有难度.