Question

若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且当x＜0时f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为R上的减函数；
（3）当f(4)=

1

16

时，对a∈[-1，1]时恒有f(x2-2ax+2)≤

1

4

，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f（x）＞0；
（2）根据函数单调性的定义证明f（x）为R上的减函数；
（3）利用函数单调性的性质，解不等式即可．

解答：解：（1）证法一：f（0）•f（x）=f（x），
即f（x）[f（0）-1]=0，
又f（x）≠0，
∴f（0）=1
当x＜0时，f（x）＞1，
则-x＞0，
∴f（x）•f（-x）=f（0）=1，
则f(-x)=

1

f(x)

∈(0，1)．
故对于x∈R恒有f（x）＞0．
证法二：f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=[f(

x

2

)]2≥0，
∵f（x）为非零函数，
∴f（x）＞0
（2）令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R，
有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），
又x₂-x₁＜0，
即f（x₂-x₁）＞1
故

f(x2)

f(x1)

=f(x2-x1)＞1，
又f（x）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）为R上的减函数．
（3）f(4)=

1

16

=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=

1

4

，
则原不等式可变形为f（x²-2ax+2）≤f（2）
依题意有  x²-2ax≥0对a∈[-1，1]恒成立，
∴

x2-2x≥0 x2+2x≥0

⇒x≥2或x≤-2或x=0
故实数x的取值范围为（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，以及函数单调性的定义，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的运算能力．