Question

如图所示为某几何体的直观图和三视图，上半部分是四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH．
（1）求该几何体的体积；
（2）证明：直线BD⊥平面PEG．

Answer 1

分析：（1）由题意知该几何体的体积V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH，由此能求出该几何体的体积．
（2）连接EG，HF，BD，EG∩HF=O，连接PO，由正四棱锥的性质知：PO⊥平面EFGH，故PO⊥HF，所以HF⊥平面PEG，再由BD∥HF，能够证明BD⊥平面PEG．

解答：解：（1）由题意知该几何体的体积
V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH
=

1

3

×202×30+20²×10
=8000（m²）．
（2）如图，连接EG，HF，BD，EG∩HF=O，
连接PO，由正四棱锥的性质知：
PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF，
又∵EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG，
又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG．

点评：本题考查几何体的体积的求法，考查直线与平面垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．