Question

6．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M（4，1），N（2，2）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，代入N．M的坐标，解方程即可得到所求；
（2）设出直线l的方程y=x+t，代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，弦长公式，解方程可得t，即可得到所求直线方程．

解答 解：（1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，
代入M（4，1），N（2，2），即有
$\left\{\begin{array}{l}{16m+n=1}\\{4m+4n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{20}}\\{n=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）设直线l的方程为y=x+t，
代入椭圆的方程可得，5x²+8tx+4t²-20=0，
判别式为△=64t²-20（4t²-20）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-20}{5}$，
即有}AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8t}{5}）^{2}-\frac{4（4{t}^{2}-20）}{5}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
解得t=±1，检验判别式大于0成立．
则所求直线l的方程为y=x+1或y=x-1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意设出椭圆的方程为mx²+ny²=1，同时考查直线和椭圆相交的弦长问题，考查运算能力，属于中档题．