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已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称,圆心C在第二象限,半径为
2

(1)求圆C的方程;
(2)是否存在直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据题意,求得圆心C(-
D
2
,-
E
2
)在x+y-1=0上,且半径r=
1
2
D2+E2-12
=
2
.联解得D、E的值,即可得到圆C的标准方程;
(2)按直线l经过原点、不经过原点两种情况加以讨论,分别设出直线l的方程,根据点到直线的距离公式建立关于参数k、m的等式,解之即可得到满足条件的直线l方程.
解答:解:(1)将圆C化成标准方程,得(x+
D
2
2+(y+
E
2
2=
1
4
(D2+E2-12)
∴圆C的圆心坐标为(-
D
2
,-
E
2
),半径r=
1
2
D2+E2-12

∵圆C关于直线x+y-1=0对称,半径为
2

∴-
D
2
-
E
2
-1=0且
1
2
D2+E2-12
=
2

解之得
D=2
E=-4
D=-4
E=2

结合圆心C在第二象限,得C的坐标为(-1,2),(舍去C(1,-2))
∴圆C的方程是(x+1)2+(y-2)2=2
(2)当直线l过原点时,设为y=kx,
可得
|-k-2|
1+k2
=
2
,解之得k=
6
,得直线l方程为y=(
6
)x,
当直线l不过原点时,设l:x+y-m=0
可得
|-1+2-m|
2
=
2
,解之得m=-1或3
此时直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0
综上所述,与圆C相切且在x轴、y轴上的截距相等的直线l方程为y=(
6
)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
点评:本题给出圆C满足的条件,求圆C方程并求与圆C相切的直线l方程,着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
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7
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(2009•普陀区一模)如图,已知圆C:x2+y2=r2与x轴负半轴的交点为A.由点A出发的射线l的斜率为k,且k为有理数.射线l与圆C相交于另一点B.
(1)当r=1时,试用k表示点B的坐标;
(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为
qp
,其中p、q均为整数且p、q互质)
(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.

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(2012•泸州一模)已知圆C:x2+y2=r2(r>0)与抛物线y2=40x的准线相切,若直线l:
x
a
y
b
=1
与圆C有公共点,且公共点都为整点(整点是指横坐标.纵坐标都是整数的点),那么直线l共有(  )
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已知圆C:x2+y2=4与直线L:x+y+a=0相切,则a=(  )

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同步练习册答案
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