Question

设等比数列{a_n}首项a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中项．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得等比数列{a_n}的公比q=2，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）易求得b_n=log₂a_n=n-1，于是数列{b_n}是首项为0，公差为1的等差数列，从而可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，又a₁=1，
则2q=1+q²-1，
∴q=2或q=0（舍去），
∴等比数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=log₂a_n=log₂2^n-1=n-1，b_n+1-b_n=1，
∴数列{b_n}是首项为0，公差为1的等差数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=0+1+2+…+n-1
=

(n-1)×n

2

=

1

2

n²-

1

2

n．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列与等差数列的通项公式与求和公式的应用，属于中档题．