分析 (Ⅰ)求导数,分类讨论,利用导数的正负讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)由题知,$h'(x)=\frac{{2{e^{x-1}}(x-1)}}{x^2}$,当0<x<1时,h'(x)<0,当1<x<2时,h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,故h(x)min=h(1)=a+2,f(1)+f[(-(a+1)]=a+3+aln[-(a+1)]-a-1>a+2,即可求实数a的取值范围.
解答 解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f′(x)=$\frac{(x+a+1)(x-1)}{{x}^{2}}$,(1分)
当a≥-1时,-(a+1)≤0,当0<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,
∴f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1);
当-2<a<-1时,0<-(a+1)<1,当0<x<-(a+1)或x>1时,f'(x)>0,当-(a+1)<x<1时,f'(x)<0,∴f(x)的增区间为(0,-(a+1)),(1,+∞),减区间为(-(a+1),1);
当a=-2时,f'(x)≥0,则f(x)的增区间为(0,+∞);
当a<-2时,-(a+1)>1,当1<x<-(a+1)时,f'(x)<0,当0<x<1或x>-(x+1)时,h'(x)>0,
∴f(x)的减区间为(1,-(a+1)),增区间为(0,1),(-(a+1),+∞).(5分)
综上所述,当a<-2时,f(x)的减区间为(1,-(a+1)),增区间为(0,1),(-(a+1),+∞);
当a=-2时,f(x)的增区间为(0,+∞);
当-2<a<-1时,f(x)的增区间为(0,-(a+1)),(1,+∞),减区间为(-(a+1),1);
当a≥-1时,f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).(6分)
(Ⅱ)由题知,$h'(x)=\frac{{2{e^{x-1}}(x-1)}}{x^2}$,当0<x<1时,h'(x)<0,当1<x<2时,h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,故h(x)min=h(1)=a+2,
由题知f(x1)+f(x2)>a+2,(8分)
由(Ⅰ)知,要使f(x)有两个极值点,即f'(x)=0在(0,+∞)上有两解,则a<-1且a≠-2;
当a<-2时,f(x)的减区间为(1,-(a+1)),增区间为(0,1),(-(a+1),+∞),故f(x)在x=1处取极大值f(1)=a+3,在x=-(a+1)处取极小值f[-(a+1)]=aln[-(a+1)]-a-1;
当-2<a<-1时,f(x)的增区间为(0,-(a+1)),(1,+∞),减区间为(-(a+1),1),故f(x)在x=1处取极小值f(1)=a+3,在x=-(a+1)取极大值f[-(a+1)]=aln[-(a+1)]-a-1.
由题知,f(1)+f[(-(a+1)]=a+3+aln[-(a+1)]-a-1>a+2,(11分)
∴aln[-(a+1)]-a>0,即ln[-(a+1)]<1=lne,
∴0<-(a+1)<e,解得-1-e<a<-1且a≠-2,
综上所述,实数a的取值范围为(-1-e,-2)∪(-2,-1).(12分)
点评 本题主要考查了函数的导数的应用:函数的导数在求解函数的极值、函数的单调性及函数的最值中的应用,要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用.
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A. | (-∞,-1) | B. | (-1,1) | C. | (1,+∞) | D. | (-∞,-1)和(1,+∞) |
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