Question

8．已知f（x）=alnx+x+1+$\frac{a+1}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$+a，若x₁，x₂是f（x）的两个极值点，且?m∈（0，2]，f（x₁）+f（x₂）＞h（m），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）由题知，$h'（x）=\frac{{2{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}$，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当1＜x＜2时，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，故h（x）_min=h（1）=a+2，f（1）+f[（-（a+1）]=a+3+aln[-（a+1）]-a-1＞a+2，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{（x+a+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，（1分）
当a≥-1时，-（a+1）≤0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
当-2＜a＜-1时，0＜-（a+1）＜1，当0＜x＜-（a+1）或x＞1时，f'（x）＞0，当-（a+1）＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）的增区间为（0，-（a+1）），（1，+∞），减区间为（-（a+1），1）；
当a=-2时，f'（x）≥0，则f（x）的增区间为（0，+∞）；
当a＜-2时，-（a+1）＞1，当1＜x＜-（a+1）时，f'（x）＜0，当0＜x＜1或x＞-（x+1）时，h'（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（1，-（a+1）），增区间为（0，1），（-（a+1），+∞）．（5分）
综上所述，当a＜-2时，f（x）的减区间为（1，-（a+1）），增区间为（0，1），（-（a+1），+∞）；
当a=-2时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当-2＜a＜-1时，f（x）的增区间为（0，-（a+1）），（1，+∞），减区间为（-（a+1），1）；
当a≥-1时，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（6分）
（Ⅱ）由题知，$h'（x）=\frac{{2{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}$，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当1＜x＜2时，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，故h（x）_min=h（1）=a+2，
由题知f（x₁）+f（x₂）＞a+2，（8分）
由（Ⅰ）知，要使f（x）有两个极值点，即f'（x）=0在（0，+∞）上有两解，则a＜-1且a≠-2；
当a＜-2时，f（x）的减区间为（1，-（a+1）），增区间为（0，1），（-（a+1），+∞），故f（x）在x=1处取极大值f（1）=a+3，在x=-（a+1）处取极小值f[-（a+1）]=aln[-（a+1）]-a-1；
当-2＜a＜-1时，f（x）的增区间为（0，-（a+1）），（1，+∞），减区间为（-（a+1），1），故f（x）在x=1处取极小值f（1）=a+3，在x=-（a+1）取极大值f[-（a+1）]=aln[-（a+1）]-a-1．
由题知，f（1）+f[（-（a+1）]=a+3+aln[-（a+1）]-a-1＞a+2，（11分）
∴aln[-（a+1）]-a＞0，即ln[-（a+1）]＜1=lne，
∴0＜-（a+1）＜e，解得-1-e＜a＜-1且a≠-2，
综上所述，实数a的取值范围为（-1-e，-2）∪（-2，-1）．（12分）

点评 本题主要考查了函数的导数的应用：函数的导数在求解函数的极值、函数的单调性及函数的最值中的应用，要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用．