Question

已知函数f（x）=x³+ax+b+（x∈R），且f（0）=1．
（1）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若y=f（x）在x=1处的切线与y轴交于点B，且A（1，f（1）），求d（a）=|AB|²在a∈[c，+∞]的最小值；
（3）若a=-

1

2

，M_n=f（1）+

1

2

f（2）+

1

3

f（3）+…+

1

n

f（n）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

），a_n=

2n-1

6Mn

（n∈N^*），S_n=a₁+a₃+…+a_n，求证：S_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）先根据条件求出b的值，欲使f（x）在R上单调递增，只需f'（x）=3x²+a≥0恒成立，将参数a分离出来，研究不等式另一侧的最值即可；
（2）先求出A点坐标，然后求出f（x）在x=1处的切线方程，求出点B的坐标，将d（a）=|AB|²的表达式求出来，根据二次函数的单调性与对称轴有关进行讨论即可求出最小值．
（3）先求出f（x）的解析式，将其变形成

1

x

[f(x)-1]=x2-

1

2

，代入M_n的等式中，化简可求出M_n，从而求出a_n，利用裂项求和法求出前n项和，最后利用放缩法即可得到不等式．

解答：解：（1）由f（0）=1，得b=1，这时f（x）=x³+ax+1，f'（x）=3x²+a≥0恒成立
∴a≥-3x²得a≥0
（2）∵f（1）=1+a+1=2+a，即A（1，2+a），而x=1时，f'（1）=3+a
故在x=1处f（x）的切线方程为y-（2+a）=（a+3）（x-1）
当x=0时，y=-1，即B（0，-1）
∴d（a）=|AB|²=1+（a+3）²，a∈[c，+∞）
当c＜-3时，d（a）的最小值为1
当c≥-3时，d（a）的最大值为d（c）=（c+3）²+1
（3）证明：a=-

1

2

时，f（x）=x³-

1

2

x+1，故

1

x

[f(x)-1]=x2-

1

2

M_n=f（1）+

1

2

f（2）+

1

3

f（3）+…+

1

n

f（n）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）
=

1

1

[f(1)-1]+

1

2

[f(2)-1]+…+

1

n

[f(n)-1]
=（1²+2²+…+n²）-

n

2

=

n

6

(n+2)(2n-1)
故an=

2n-1

6Mn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
S_n=a₁+a₃+…+a_n=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

) ＜

3

4

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，以及不等式的证明，属于中档题．