【题目】如图,A是椭圆的左顶点,点P,Q在椭圆上且均在x轴上方.
(1)若直线AP与OP垂直,求点P的坐标;
(2)若直线AP,AQ的斜率之积为,求直线PQ的斜率的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设P的坐标,可得向量OP,AP的坐标,由向量垂直的条件:数量积为0,结合P的坐标满足椭圆方程,解方程可得P的坐标;
(2)设出AP,AQ的斜率,以及直线AP,AQ的方程,联立椭圆方程,运用韦达定理,求得P,Q的坐标,和直线PQ的斜率,结合基本不等式可得所求范围.
(1)设,
则,
因为直线AP与OP垂直,
所以,即,
得 ①
又点P在椭圆上,所以②
由①②得或-2(舍去),代入②得,
因为点P在x轴上方,所以.
(2)由于直线AP,AQ的斜率之积为,点P,Q在椭圆上且均在x轴上方.
所以可设直线AP,AQ的斜率分别为,则,
所以直线AP的方程为,
联立得,
设,
则,即,
同理可得,.
所以直线PQ的斜率为
因为,
所以,注意到,点P,Q不重合,所以等号不成立,
所以,
所以直线PQ的斜率的取值范围为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线,过焦点作垂直于轴的直线,与抛物线相交于,两点,为的准线上一点,且的面积为4.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)设,若点是抛物线上的任一动点,则是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程和弦长,如果不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】洛萨科拉茨Collatz,是德国数学家,他在1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半即;如果n是奇数,则将它乘3加即,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到如初始正整数为6,按照上述变换规则,我们得到一个数列:6,3,10,5,16,8,4,2,对科拉茨猜想,目前谁也不能证明,更不能否定现在请你研究:如果对正整数首项按照上述规则施行变换注:1可以多次出现后的第八项为1,则n的所有可能的取值为______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有形状、大小都相同的5张卡片,其中有2张卡片写着文字“中”,2张卡片写着文字“国”,1张卡片写着文字“梦”.若从中任意取出3张,则取出的3张卡片上的文字能组成“中国梦”的概率为____
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲,乙两人玩摸球游戏,每两局为一轮,每局游戏的规则如下:甲,乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球,摸到黑球的人获胜,并结束该局.
(1)若在一局中甲先摸,求甲在该局获胜的概率;
(2)若在一轮游戏中约定:第一局甲先摸,第二局乙先摸,每一局先摸并获胜的人得1分,后摸井获胜的人得2分,未获胜的人得0分,求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形, 是矩形,平面平面, , , , 为的中点.
(1)求证: 平面;
(2)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.己知
点的极坐标为,曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为, (为参数).曲线和曲线相交于两点.
(1)求点的直角坐标;
(2)求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(3)求的面枳,
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com