Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinC-bsinB=（a-b）sinA．
（1）求角C；
（2）若c=5，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理得c²-b²=（a-b）a，得出a²+b²-c²=ab．利用余弦定理C．
（2）使用余弦定理得出a²+b²=c²+ab=25+ab．利用基本不等式可得ab的最大值，代入面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵csinC-bsinB=（a-b）sinA，
∴c²-b²=（a-b）a=a²-ab，
∴a²+b²-c²=ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
∴a²+b²-c²=ab，
∵c=5，
∴a²+b²=c²+ab=25+ab≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，
∴解得：ab≤25，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×25×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．
故△ABC面积的最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了基本不等式的应用，解出ab的最大值是解题关键，属于中档题．