精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图:已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形,高AA1=4
2
,P为CC1的中点,AC、BD交于O
(I)求证:BD⊥面A1ACC1
(Ⅱ)求证:BD⊥OP;
(Ⅲ)求三棱锥P-A1DB的体积.
分析:(1)根据线面垂直的判定定理,要证BD⊥面A1ACC1,只证BD⊥AC,BD⊥AA1即可;
(2)由(1),利用线面垂直的性质可证BD⊥OP;
(3)以△BDP为底,点A1到面BDP的距离为高,根据锥体体积公式可求,其中点A1到面BDP的距离可建立坐标系用向量求得;
解答:解:(1)证明:在长方体AC1中,∵底面ABCD是边长为4的正方形,∴对角线BD⊥AC.
又∵A1A⊥平面ABCD,∴A1A⊥BD.
AC∩A1A=A,AC?面A1ACC1,A1A?面A1ACC1
∴BD⊥面A1ACC1
(2)由(1)知,BD⊥面A1ACC1,且OP?面A1ACC1
∴BD⊥OP.
(3)分别以
DA
DC
DD1
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则B(4,4,0),A1(4,0,4
2
),P(0,4,2
2
),
BA1
=(0,-4,4
2
),
DP
=(0,4,2
2
),
DB
=(4,4,0),
n
=(x,y,z)为平面DBP的一个法向量,
n
DP
=0
n
DB
=0
,即
4y+2
2
z=0
4x+4y=0
,取
n
=(1,-1,
2
),
点A1到平面平面DBP的距离d=|
BA1
|×|cos<
n
BA1
>|=|
BA1
|×|
BA1
n
|
BA1
||
n
|
|=
12
2
=6,
BD=4
2
,OP=
OC2+CP2
=
(2
2
)2+(2
2
)2
=4,
则S△BDP=
1
2
×BD×OP=
1
2
×4
2
×4=8
2

所以三棱锥P-A1DB的体积V=
1
3
×S△BDP×d=
1
3
×8
2
×6=16
2
点评:本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质及锥体的体积求解,考查学生综合运用知识解决问题的能力,属中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于E,F为A1B1的中点.
(I)求异面直线AE与BF所成的角;
(II)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小
(III)求点A到平面BDF的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2
3
,AD=2
3
,AA1=2.
求:
①BC和A1C1所成的角度是多少度?
②AA1和B1C1所成的角是多少度?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=AA1=2,点O是线段BC1的中点,点M是OD的中点,点E是线段AB上一点,AE>BE,且A1E⊥OE.
①求AE的长;
②求二面角A1-DE-C的正切值;
③求三棱锥M-A1OE的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=2
3
,AD=2
3
,AA′=2,
(1)哪些棱所在直线与直线BA’是异面直线?
(2)直线BC与直线A’C’所成角是多少度?
(3)哪些棱所在直线与直线AA’是垂直?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•宣武区一模)如图,已知长方体AC1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F
(1)求证:AC1⊥平面EBD;
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案