Question

如图：已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为4的正方形，高AA₁=4

2

，P为CC₁的中点，AC、BD交于O
（I）求证：BD⊥面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求证：BD⊥OP；
（Ⅲ）求三棱锥P-A₁DB的体积．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定定理，要证BD⊥面A₁ACC₁，只证BD⊥AC，BD⊥AA₁即可；
（2）由（1），利用线面垂直的性质可证BD⊥OP；
（3）以△BDP为底，点A₁到面BDP的距离为高，根据锥体体积公式可求，其中点A₁到面BDP的距离可建立坐标系用向量求得；

解答：解：（1）证明：在长方体AC₁中，∵底面ABCD是边长为4的正方形，∴对角线BD⊥AC．
又∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
AC∩A₁A=A，AC?面A₁ACC₁，A₁A?面A₁ACC₁；
∴BD⊥面A₁ACC₁．
（2）由（1）知，BD⊥面A₁ACC₁，且OP?面A₁ACC₁．
∴BD⊥OP．
（3）分别以

DA

，

DC

，

DD1

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（4，4，0），A₁（4，0，4

2

），P（0，4，2

2

），

BA1

=（0，-4，4

2

），

DP

=（0，4，2

2

），

DB

=（4，4，0），
设

n

=（x，y，z）为平面DBP的一个法向量，
则

n • DP =0 n • DB =0

，即

4y+2 2 z=0 4x+4y=0

，取

n

=（1，-1，

2

），
点A₁到平面平面DBP的距离d=|

BA1

|×|cos＜

n

，

BA1

＞|=|

BA1

|×|

BA1 • n

| BA1 || n |

|=

12

2

=6，
BD=4

2

，OP=

OC2+CP2

=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4，
则S_△BDP=

1

2

×BD×OP=

1

2

×4

2

×4=8

2

，
所以三棱锥P-A₁DB的体积V=

1

3

×S_△BDP×d=

1

3

×8

2

×6=16

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质及锥体的体积求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．