Question

函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2．
当k=2时，f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），∴f（-x）=-f（x）成立
∴f（x）是定义域为R的奇函数；
（2）函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-＜0，
∵a＞0，∴1＞a＞0．
由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0，可化为f（x²+tx）＜f（x-4）．
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
点评：本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．