Question

12．化简（1+${2}^{-\frac{1}{2}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{4}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{8}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{16}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{32}}$）的结果是$\frac{1}{2-{2}^{\frac{31}{32}}}$．

Answer 1

分析 利用“平方差公式”先计算：（1+${2}^{-\frac{1}{2}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{4}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{8}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{16}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{32}}$）$（1-{2}^{-\frac{1}{32}}）$，即可得出．

解答 解：（1+${2}^{-\frac{1}{2}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{4}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{8}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{16}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{32}}$）$（1-{2}^{-\frac{1}{32}}）$
=（1+${2}^{-\frac{1}{2}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{4}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{8}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{16}}$）$（1-{2}^{-\frac{1}{16}}）$
=（1+${2}^{-\frac{1}{2}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{4}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{8}}$）$（1-{2}^{-\frac{1}{8}}）$
=（1+${2}^{-\frac{1}{2}}$）（1+${2}^{-\frac{1}{4}}$）$（1-{2}^{-\frac{1}{4}}）$
=$（1+{2}^{-\frac{1}{2}}）（1-{2}^{-\frac{1}{2}}）$
=1-2^-1
=$\frac{1}{2}$，
∴原式=$\frac{\frac{1}{2}}{1-{2}^{-\frac{1}{32}}}$=$\frac{1}{2-{2}^{\frac{31}{32}}}$．
故答案为：$\frac{1}{2-{2}^{\frac{31}{32}}}$．

点评 本题考查了乘法公式的应用、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．