Question

如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，边长为a，E为棱AB的中点．求：
（1）C₁E与平面ABCD所成的角；（结果用反三角表示）
（2）点B₁到平面ABC₁D₁的距离．

Answer 1

分析：（1）先根据C₁C⊥平面ABCD得到EC为EC₁在平面ABCD内的射影；进而得到∠C₁EC为C₁E与平面ABCD所成的角；然后在三角形C₁EC中求∠C₁EC即可．
（2）过B₁作B₁H⊥BC₁交BC₁于点H，先根据条件得到AB⊥B₁H；可得B₁H⊥平面ABC₁D₁，然后在等腰直角三角形BB₁C₁中求出B₁H即可．

解答：解：（1）连接EC

∵C₁C⊥平面ABCD---------------------------------（1分）
∴EC为EC₁在平面ABCD内的射影--------------------（1分）
∴∠C₁EC为C₁E与平面ABCD所成的角----------------（2分）
∵C1C=a，EC=

5

2

a
∴tan∠C1EC=

a

5 2 a

=

2 5

5

------------------（2分）
∴C₁E与平面ABCD所成的角为arctan

2 5

5

----------------（1分）
（2）连接BC₁，AD₁，过B₁作B₁H⊥BC₁交BC₁于点H
∵AB⊥平面BCC₁B₁
B₁H?平面BCC₁B₁
∴AB⊥B₁H----------------------------------（3分）
又AB∩BC₁=B
∴B₁H⊥平面ABC₁D₁-------------------------------（1分）
∴B₁H为点B₁到平面ABC₁D₁的距离------------------（1分）
在等腰直角三角形BB₁C₁中    B1H=

2

2

a---------（1分）
∴点B₁到平面ABC₁D₁的距离为

2

2

a--------------（1分）

点评：本题主要考查直线和平面所成的角以及点到面的距离计算，是对立体几何知识的考查，考查计算能力以及分析问题的能力．