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17.将一张长8cm,宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠,如图1,图2,不考虑其它情况,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为S1cm2,S2cm2,其中S1≤S2.记折痕长为lcm.
(1)若l=4,求S1的最大值;
(2)若S1:S2=1:3,求l的取值范围.

分析 (1)设AN=x,AM=y,则x2+y2=16,从而利用基本不等式求最大值;
(2)S1=$\frac{1}{4}$×8×6=12,当AMN构成三角形时,xy=24,从而可得y=$\frac{24}{x}$(3≤x≤6);从而化简为t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$,从而讨论函数的单调性可得48≤l2≤73,且l的大小连续,易知l的最小值为6<4$\sqrt{3}$,从而求得.

解答 解:(1)当l=4时,AMN构成三角形,
设AN=x,AM=y,则x2+y2=16,
故S1=$\frac{1}{2}$xy≤$\frac{1}{2}$$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=4,
(当且仅当x=y=2$\sqrt{2}$时,等号成立);
故S1的最大值为4cm2
(2)S1=$\frac{1}{4}$×8×6=12,
当AMN构成三角形时,
设AN=x,AM=y,则S1=$\frac{1}{2}$xy=12,
故xy=24,故y=$\frac{24}{x}$(3≤x≤6);
x2+y2=x2+$\frac{2{4}^{2}}{{x}^{2}}$,
令t=x2,(9≤t≤36),
故x2+$\frac{2{4}^{2}}{{x}^{2}}$=t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$,
故t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$在[9,24]上是减函数,在[24,36]上是增函数;
且9+$\frac{2{4}^{2}}{9}$=73,24+24=48,36+$\frac{2{4}^{2}}{36}$=52,
故48≤l2≤73,
故4$\sqrt{3}$≤l≤$\sqrt{73}$;
且l的大小连续,易知l的最小值为6<4$\sqrt{3}$,
故6≤l≤$\sqrt{73}$.

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及基本不等式的解法与应用.

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