Question

【题目】已知函数f（x）=a﹣ （a∈R）
（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；
（2）若函数f（x）是奇函数，则f（x）≥ 当x∈[1，2]时恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不论a为何实数，f（x）在定义域R上单调递增．

下面给出证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

∵x1＜x2，∴0＜ ＜ ，

∴ ＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在定义域R上单调递增

（2）解：∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，可得f（0）=a﹣ =0，解得a=1．

∵f（x）≥ 当x∈[1，2]时恒成立，∴3x﹣ ×3x≥m，即m≤3x+1+ ﹣2的最小值，

设3x+1=t∈[4，10]．则g（t）=t+ ﹣2，g′（t）=1﹣ ＞0，

∴函数g（t）在t∈[4，10]上单调递增，

∴g（t）min=g（4）= ，

∴m≤ ，此时x=1．即m的最大值是

【解析】（1）不论a为何实数，f（x）在定义域R上单调递增．下面给出证明分析：设x1＜x2 ， 利用指数函数的单调性只要证明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．（2）由函数f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，解得a=1．由f（x）≥ 当x∈[1，2]时恒成立，可得3x﹣ ×3x≥m，即m≤3x+1+ ﹣2的最小值，设3x+1=t∈[4，10]．则g（t）=t+ ﹣2，利用导数研究函数的单调性即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．