Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为平行四边形，PA⊥面ABCD，PC•BD=0，PA=AB=2．∠BAD=60°．
（1）证明：面PAC⊥面PBD．
（2）求C到面PBD的距离．
（3）求面PBC与面PAD的二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥BD，PC⊥BD?BD⊥面PAC?面PAC⊥面PBD．
（2）由O为AC的中点得A、C到面PBD的距离相等．把C到面PBD的距离转化为A到面PBD的距离．过A做AE⊥PO于E?AE为A到面PBD的高．求出AE的长即可．
（3）先把面PBC与面PAD的交线PQ过点P作出来；然后利用三垂线定理极其逆定理把二面角的平面角作出来，再解三角形求出二面角的大小即可．

解答：如图（1）证明：连AC，BD∵PA⊥BD，PC⊥BD∴BD⊥面PAC，
∴面PAC⊥面PBD．（2分）

（2）解：O为AC的中点，故A、C到面PBD的距离相等．
连PO，过A做AE⊥PO于E，
∵面PAC⊥面PBD．
∴AE为A到面PBD的高．（4分）
在Rt△APO中，AO=

3

，AP=2，
∴AE=

AO•AP

PO

=

3 •2

3+4

=

2 21

7

．
故 C到面PBD的距离为

2 21

7

．（7分）

（3）解：∵BC∥AD，
∴BC∥面PAD，
∴过P做PQ即为面PBC与面PAD的交线．
过B做BM⊥AD于M，BM⊥面PAD，过M做MQ⊥PQ于Q，连BQ，
则∠BQM为面PBC与面PAD的二面角的平面角．（9分）
在Rt△BQM中，BM=

3

，MQ=2∴tan∠BQM=

3

2

∴∠BQM=arctan

3

2

．（12分）

点评：本题综合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和点到面的距离计算．在求点到面的距离时，如果直接法不好求的话，一般转化为棱锥的高利用等体积法来求．