Question

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且(b+a+c)(b-a-c)+2

3

absinC=0
（1）求B
（2）若b=2，△ABC的面积为

3

，求a，c．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边第一项利用平方差公式及完全平方公式变形，再利用余弦定理化简，整理后利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B-

π

6

）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的方程，再由已知的面积，利用面积公式列出关于a与c的方程，联立即可求出a与c的值．

解答：解：（1）已知等式变形得：b²-a²-c²-2ac+2

3

absinC=0，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，即a²+c²-b²=2accosB，
代入得：-2accosB-2ac+2

3

absinC=0，即-2ccosB-2c+2

3

bsinC=0，
利用正弦定理化简得：-2sinCcosB-2sinC+2

3

sinBsinC=0，
∵sinC≠0，∴-2cosB-2+2

3

sinB=0，即2

3

sinB-2cosB=4sin（B-

π

6

）=2，
∴sin（B-

π

6

）=

1

2

，
∴B-

π

6

=

π

6

或

5π

6

，
解得：B=

π

3

或B=π（舍去），
则B=

π

3

；
（2）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3

，
∴ac=4，
∵b=2，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
将ac=4代入得：（a+c）²=16，即a+c=4，
解得：a=c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．