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【题目】已知两动圆F1:(x+ 2+y2=r2和F2:(x﹣ 2+y2=(4﹣r)2(0<r<4),把它们的公共点的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上的相异两点A,B满足: =0.
(1)求曲线C的方程;
(2)证明直线AB恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求△ABM面积S的最大值.

【答案】
(1)解:设两动圆的公共点为Q,则有|QF1|+|QF2|=4(4>|F1F2|).

由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆,a=2,c= .b=1,

所以曲线C的方程是: =1


(2)解:证明:由题意可知:M(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),

当AB的斜率不存在时,易知满足条件 =0的直线AB为:x=0,过定点N(0,﹣ ).

当AB的斜率存在时,设直线AB:y=kx+m,联立方程组有:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,

x1+x2=﹣ ①,x1x2= ②,

因为 =0,所以有x1x2+(kx1+m﹣1)(kx2+m﹣1)=0,

把①②代入整理化简得(m﹣1)(5m+3)=0,m=﹣ 或m=1(舍),

综合斜率不存在的情况,直线AB恒过定点N(0,﹣


(3)解:△ABM面积S=SMNA+SMNB= |MN||x1﹣x2|=

因N在椭圆内部,所以k∈R,可设t= ≥2,

S= = = (k=0时取到最大值).

所以△ABM面积S的最大值为


【解析】(1)设两动圆的公共点为Q,则有|QF1|+|QF2|=4,运用椭圆的定义,即可得到a,c,b,进而得到Q的轨迹方程;(2)M(0,1),设A(x1 , y1),B(x2 , y2),根据直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,根据条件,运用向量的数量积的坐标表示,结合韦达定理和直线恒过定点的求法,即可得到定点;(3)△ABM面积S=SMNA+SMNB= |MN||x1﹣x2|,代入韦达定理,化简整理,结合N在椭圆内,运用对勾函数的单调性,即可得到最大值.

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