【题目】已知两动圆F1:(x+ )2+y2=r2和F2:(x﹣ )2+y2=(4﹣r)2(0<r<4),把它们的公共点的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上的相异两点A,B满足: =0.
(1)求曲线C的方程;
(2)证明直线AB恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求△ABM面积S的最大值.
【答案】
(1)解:设两动圆的公共点为Q,则有|QF1|+|QF2|=4(4>|F1F2|).
由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆,a=2,c= .b=1,
所以曲线C的方程是: =1
(2)解:证明:由题意可知:M(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),
当AB的斜率不存在时,易知满足条件 =0的直线AB为:x=0,过定点N(0,﹣ ).
当AB的斜率存在时,设直线AB:y=kx+m,联立方程组有:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
x1+x2=﹣ ①,x1x2= ②,
因为 =0,所以有x1x2+(kx1+m﹣1)(kx2+m﹣1)=0,
把①②代入整理化简得(m﹣1)(5m+3)=0,m=﹣ 或m=1(舍),
综合斜率不存在的情况,直线AB恒过定点N(0,﹣ )
(3)解:△ABM面积S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|=
因N在椭圆内部,所以k∈R,可设t= ≥2,
S= = ≤ = (k=0时取到最大值).
所以△ABM面积S的最大值为
【解析】(1)设两动圆的公共点为Q,则有|QF1|+|QF2|=4,运用椭圆的定义,即可得到a,c,b,进而得到Q的轨迹方程;(2)M(0,1),设A(x1 , y1),B(x2 , y2),根据直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,根据条件,运用向量的数量积的坐标表示,结合韦达定理和直线恒过定点的求法,即可得到定点;(3)△ABM面积S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|,代入韦达定理,化简整理,结合N在椭圆内,运用对勾函数的单调性,即可得到最大值.
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【题目】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同时满足条件:
①x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是
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【题目】某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛,根据比赛规则,某中学选拔出8名同学组成参赛队,其中初中学部选出的3名同学有2名女生;高中学部选出的5名同学有3名女生,竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.
(1)设“选出的4人中恰有2名女生,而且这2名女生来自同一个学部”为事件A,求事件A的概率P(A);
(2)设X为选出的4人中女生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆.
(1)若椭圆的离心率为,求的值;
(2)若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点,在轴上是否存在点,使得 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成,它们的圆心分别为O,O1 , O2 . 动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O1 , O,O2 , B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=|O1P|2 , y与x的函数关系为y=f(x),则y=f(x)的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n()个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数。有下列函数:
① ② ③ ④
其中是一阶整点的是( )
A. ①②③④ B. ①③④ C. ④ D. ①④
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足向量 =(cosA,cosB), =(a,2c﹣b), ∥ .
(1)求角A的大小;
(2)若a=2 ,求△ABC面积的最大值.
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【题目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=AA1 , ∠A1AB=∠A1AD=60°.
(1)求证:平面A1BD⊥平面A1AC;
(2)若BD= D=2,求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小.
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