Question

9．若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离最小时点P的坐标为（1，1）．

Answer 1

分析 由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为最小值．

解答 解：点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的导数 y′=2x-$\frac{1}{x}$
令y′=1，解得x=1或x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标P（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故点P到直线y=x-2的最小距离为$\sqrt{2}$．
故答案为：（1，1）．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．