Question

（2012•杭州二模）已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-ag（x），若x∈（0，2），函数F（x）不存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数G(x)=

(x-1)[f2(x)+g(x)]

g(x)

，如果对于任意实数x∈（1，t]，都有不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数可得F′(x)=

1-ax2

x

(x＞0)，分当a≤0，和a＞0两种情形来考虑，综合可得a的范围；
（Ⅱ）经过多次等价转化，问题等价于

f2(x)

g(x)

≤

f2(t)

g(t)

，设函数h(x)=

f2(x)

g(x)

，问题等价于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，求导数可得h（x）的单调性，进而可得最值，可得结论．

解答：解：（I）由F(x)=lnx-

1

2

ax2，得F′(x)=

1

x

-ax=

1-ax2

x

(x＞0)，
当a≤0时，F'（x）＞0（x＞0），此时F（x）在（0，2）上无极值，
当a＞0时，所以F（x）在区间(0，

1

a

)上递增，在区间(

1

a

，+∞)上递减，
所以要使得F（x）在（0，2）上不存在极值，只要

1

a

≥2，即0＜a≤

1

4

，
综合以上两种情况可得a≤

1

4

．（6分）
（II）不等式tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等价于（t-1）G（x）≤（x-1）G（t），
等价于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

，即

f2(x)

g(x)

≤

f2(t)

g(t)

…（8分）
设函数h(x)=

f2(x)

g(x)

，问题等价于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，
即h（t）为h（x）的最大值，而h(x)=

f2(x)

g(x)

=

2ln2x

x2

，所以h′(x)=

4lnx(1-lnx)

x3

(x＞0)，（12分）
故h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，在区间（1，e）上单调递增，
因此t≤e，即实数t的最大值为e．                                                                   （14分）

点评：本题考查导数法研究函数的单调性和极值问题，涉及等价转化法，属中档题．