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2.已知函数f(x)=|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[2,3],求实数a的取值范围.

分析 (1)运用分段函数求得f(x)的解析式,由f(x)≥2,即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥2}\\{-1<x<2}\end{array}\right.$或x≥2,解不等式即可得到所求解集;
(2)由题意可得|x+a|≤4-x+x-2=2在[2,3]恒成立.则-2≤x+a≤2在[2,3]恒成立.即有-x-2≤a≤-x+2在[2,3]恒成立.求得不等式两边的最值,即可得到a的范围.

解答 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|
=$\left\{\begin{array}{l}{-3,x≤-1}\\{2x-1,-1<x<2}\\{3,x≥2}\end{array}\right.$,
由f(x)≥2,即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥2}\\{-1<x<2}\end{array}\right.$或x≥2,
可得$\frac{3}{2}$≤x<2或x≥2,
即为x≥$\frac{3}{2}$.
故不等式f(x)≥2的解集{x|x≥$\frac{3}{2}$};            
(2)f(x)≤|x-4|的解集包含[2,3],
即为|x+a|≤|x-4|+|x-2|在[2,3]恒成立,
即有|x+a|≤4-x+x-2=2在[2,3]恒成立.
则-2≤x+a≤2在[2,3]恒成立.
即有-x-2≤a≤-x+2在[2,3]恒成立.
由-x-2的最大值为-4,-x+2的最小值为-1.
故-4≤a≤-1.
则实数a的取值范围是[-4,-1].

点评 本题考查绝对值不等式的解法,注意运用绝对值的意义,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和转化思想,求函数的最值,考查运算能力,属于中档题.

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