(1)求证:PC⊥AM;
(2)求证:PC⊥平面AMN;
(3)求二面角BANM的大小.
(文)如图,已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,
点M、N分别在侧棱PD、PC上,且PM=MD.
(1)求证:AM⊥平面PCD;
(2)若,求平面AMN与平面PAB所成锐二面角的大小.
答案:(理)解:(1)证明:∵四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,故建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.又PA=AD=2,则有P(0,0,2),D(0,2,0).∴M(0,1,1),C(2,2,0).
∴=(2,2,-2),=(0,1,1).∵=0+2-2=0,∴PC⊥AM.
(2)证明:设N(x,y,z),∵,则有x-0=(2-x),∴x=.同理可得y=,z=,
即N(,,).
由=+=0,∴PC⊥AN.又∵PC⊥AM,AM∩AN=A,∴PC⊥平面AMN.1分
(3)设平面BAN的法向量为n=(x,y,z).由取n=(0,-2,1).
而=(2,2,-2)为平面AMN的法向量,
∴cos〈n,〉==.
结合图形可知,所求二面角BANM的大小为π-arccos.
(文)解:(1)∵四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,则CD⊥侧面PAD.∴CD⊥AM.又PA=AD=2,∴AM⊥PD.又PD∩CD=D,∴AM⊥平面PCD.5分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz,又PA=AD=2,
则有P(0,0,2),D(0,2,0).∴M(0,1,1),C(2,2,0).∴=(2,2,-2).设N(x,y,z),∵=,则有x-0=(2-x),∴x=.同理可得y=,z=,即得N(,,).
由·=+=0,∴PC⊥AN.∴平面AMN的法向量为=(2,2,-2).而平面PAB的法向量为=(0,2,0),∴cos〈〉=.故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为arccos.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年滨州市质检三理) 如图,已知四棱锥P―ABCD的底面ABCD为等腰三角梯形,AB∥CD,AC⊥BC,AC∩BD=0,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又OB=2,OP=,PD⊥PD.
(1)求二面角B―PA―D的余弦的绝对值;
(2)在棱PC上是否存在点M,使PC⊥平面BMD?若存在,求出点M的位置;若不存在,试说明理由。
(3)在(2)的条件下,求三棱锥C―BMD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2008年上海市静安区高考数学一模试卷(文理合卷)(解析版) 题型:解答题
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