Question

设函数f（x）=sinx-cosx+ax+1．
（1）当a=1，x∈[0，2π]时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若函数f（x）为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）=sinx-cosx+x+1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值；
（2）由于函数f（x）为单调函数，则f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，解出a即可．

解答：解：（1）由f（x）=sinx-cosx+x+1=

2

sin（x-

π

4

）+x+1，0＜x＜2π，
知f′（x）=1+

2

sin（x+

π

4

）．
令f′（x）=0，从而可得sin（x+

π

4

）=-

2

2

，
解得x=π，或x=

3π

2

，
当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：

x	（0，π）	π	（π， 3π 2 ）	3π 2
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↑	π+2	单调递减↓	3π 2	单调递增↑

因此，由上表知f（x）的单调递增区间是（0，π）与（

3π

2

，2π），单调递减区间是（π，

3π

2

），
故函数f（x）的极小值为f（

3π

2

）=

3π

2

，极大值为f（π）=π+2；
（2）f′(x)=

2

sin(x+

π

4

)+a
由于函数f（x）为单调函数，
则f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立
∴

2

sin（x+

π

4

）+a≥0或

2

sin（x+

π

4

）+a≤0，
解得a≤-

2

或a≥

2

故实数a的取值范围为(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)．

点评：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力．对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点．