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    【题目】已知函数 ， 是函数的极值点.

    （1）若，求函数的最小值；

    （2）若不是单调函数，且无最小值，证明： .

    【答案】（1）的最小值为；（2）见解析.

    【解析】试题分析：（1）在区间 单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；（2），方程（），不是单调函数，且无最小值，则方程必有个不相等的正根， 是极大值点， 是极小值点， ，只需证明。

    试题解析：

    （1）解： ，其定义域是 .

    .

    令 ，得

    所以， 在区间 单调递减，在上单调递增.

    所以的最小值为.

    （2）解：函数的定义域是

    对求导数，得

    显然，方程（ ）

    设不是单调函数，且无最小值，则方程必有个不相等的正根，所以解得

    设方程的个不相等的正根是， ，其中

    所以

    列表分析如下：

    所以， 是极大值点， 是极小值点，

    故只需证明，由，且得

    因为， ，所以

    从而

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