Question

（2009•闸北区一模）若b₁=1，对于任何n∈N^*，都有b_n＞0，且nb_n+1²-2b_n²-（2n-1）b_n+1b_n=0．则log₂b₂₀₁₀=

2009

．

Answer 1

分析：对所给的代数式进行整理得到两个因式的积的形式，得到数列是一个b_n+1=2b_n种关系，利用等比数列求得第2010项的表示式，最后利用对数的运算性质，得到结果．

解答：解：nb_n+1²-2b_n²-（2n-1）b_n+1b_n=0，
（nb_n+1+b_n）（b_n+1-2b_n）=0
∵b_n＞0，b _n+1＞0 则 nb_n+1+b_n 大于0
有 b _n+1-2b_n=0
b_n+1=2b_n
则b_n=2 ^（n-1） b₁=2^（n-1）
b₂₀₁₀=2 ²⁰⁰⁹={（2¹⁰ ）¹⁰}¹⁰×2⁹=（1024 ¹⁰）¹⁰×512=2 ²⁰⁰⁹
则log₂b₂₀₁₀=log₂2 ²⁰⁰⁹=2009
故答案为：2009．

点评：本题考查函数与数列的综合题目，本题解题的关键是看出数列的特点，针对于所给的数列的特点写出数列的通项公式，整理出结果．