Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立。
（1）函数f（x）= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a>0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M ，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx
因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，
所以f（x）=。
（2）因为函数f（x）=a^x（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得a^x=x，
显然x=0不是方程a^x=x的解，
所以存在非零常数T，使a^T=T
于是对于f（x）=a^x有

故f（x）=a^x∈M。
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，
所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx
因为k≠0，且x∈R，
所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx 成立，则k=2mπ，m∈Z
当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，即sin（kx-k+π）=sinkx 成立，
则-k+π=2mπ，m∈Z ，即k=-2（m-1）π，m∈Z
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}。