Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

1

2

AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁、B、M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N．
（1）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）求二面角B-A₁N-B₁的正切值；
（3）设截面A₁BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V₁、V₂（V₁＜V₂），求V₁：V₂的值．

Answer 1

分析：（1）设A₁B₁的中点为F，连接EF、FC₁．跟中位线的性质可知EF

∥

.

1

2

B₁B．进而根据C₁M

∥

.

1

2

B₁B判断出EF

∥

.

MC₁．推断出EMC₁F为平行四边形．进而可知EM∥FC₁．推断出EM∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）作B₁H⊥A₁N于H，连接BH．根据BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，可知BH⊥A₁N，进而推断出∠BHB₁为二面角B-A₁N-B₁的平面角．根据EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM?平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，推断出EM∥A₁N．进而可推断出A₁N∥FC₁．A₁F∥NC₁，推知A₁FC₁N是平行四边形．AA₁=a，在Rt△A₁D₁N中，求得A₁N，进而求得sin∠A₁ND₁，同理求得B₁H则在Rt△BB₁H中求得答案．
（3）延长A₁N与B₁C₁交于P，则P∈平面A₁BMN，且P∈平面BB₁C₁C．首先判断出几何体MNC₁-BA₁B₁为棱台．进而求得底面积和高，分别求得各自的体积．

解答：解：（1）证明：设A₁B₁的中点为F，连接EF、FC₁．
∵E为A₁B的中点，∴EF

∥

.

1

2

B₁B．
又C₁M

∥

.

1

2

B₁B，∴EF

∥

.

MC₁．
∴四边形EMC₁F为平行四边形．
∴EM∥FC₁．∵EM?平面A₁B₁C₁D₁，
FC₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）解：作B₁H⊥A₁N于H，连接BH．
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴BH⊥A₁N．
∴∠BHB₁为二面角B-A₁N-B₁的平面角．
∵EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM?平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，
∴EM∥A₁N．
又∵EM∥FC₁，∴A₁N∥FC₁．
又∵A₁F∥NC₁，∴四边形A₁FC₁N是平行四边形．∴NC₁=A₁F．
设AA₁=a，则A₁B₁=2a，D₁N=a．
在Rt△A₁D₁N中，
A₁N=

A1D12+D1N2

=

5

a，
∴sin∠A₁ND₁=

A1D1

A1N

=

2

5

．
在Rt△A₁B₁H中，B₁H=A₁B₁sin∠HA₁B₁=2a•

2

5

=

4

5

a．
在Rt△BB₁H中，
tan∠BHB₁=

BB1

B1H

=

a

4 5 a

=

5

4

．
（3）解：延长A₁N与B₁C₁交于P，则P∈平面A₁BMN，且P∈平面BB₁C₁C．
又∵平面A₁BMN∩平面BB₁C₁C=BM，
∴P∈BM，即直线A₁N、B₁C₁、BM交于一点P．
又∵平面MNC₁∥平面BA₁B₁，
∴几何体MNC₁-BA₁B₁为棱台．
∵S=

1

2

•2a•a=a²，
S=

1

2

•a•

1

2

a=

1

4

a²，
棱台MNC₁-BA₁B₁的高为B₁C₁=2a，
V₁=

1

3

•2a•（a²+

a2• 1 4 a2

+

1

4

a²）=

7

6

a³，∴V₂=2a•2a•a-

7

6

a³=

17

6

a³．
∴

V1

V2

=

7

17

．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，棱台的体积计算等．考查了学生的综合素质．